Question

9．设函数f（x）=|2x+1|-|x-3|．
（1）解不等式f（x）＞0；
（2）若f（x）+3|x-3|≥t对一切实数x均成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过当x≥3，当$-\frac{1}{2}≤x＜3$，当$x＜-\frac{1}{2}$时，化简函数f（x），利用函数f（x）＞0分别求解解集即可．（2）令F（x）=f（x）+3|x-3|，利用绝对值三角不等式求解F（x）的最小值，然后求解t的取值范围．

解答 选修4-5：不等式选讲
解：（1）①当x≥3时，f（x）=2x+1-（x-3）=x+4＞0，
得x＞-4，所以x≥3成立；
②当$-\frac{1}{2}≤x＜3$时，f（x）=2x+1+x-3=3x-2＞0，
得$x＞\frac{2}{3}$，所以$\frac{2}{3}＜x＜3$成立；
③当$x＜-\frac{1}{2}$时，f（x）=-（2x+1）+x-3=-x-4＞0，得x＜-4，
所以x＜-4成立．…（3分）
综上，原不等式的解集为$\left\{{x\left|{x＜-4或x＞\frac{2}{3}}\right.}\right\}$．…（5分）
（2）令F（x）=f（x）+3|x-3|=|2x+1|+2|x-3|≥|2x+1-（2x-6）|=7…（8分）
（当$-\frac{1}{2}≤x≤3$时等号成立）．
所以t的取值范围为（-∞，7]．…（10分）

点评 本题考查分类讨论思想的应用，绝对值不等式的解法，以及绝对值三角不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．