Question

8．如表是某班（共30人）在一次考试中的数学和物理成绩（单位：分）

学号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
数学成绩	114	106	115	77	86	90	95	86	97	79	100	78	77	113	60
物理成绩	72	49	51	29	57	49	62	22	63	29	42	21	37	46	21

学号	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
数学成绩	89	74	82	95	64	87	56	65	43	64	64	85	66	56	51
物理成绩	65	45	33	28	29	28	39	34	45	35	35	34	20	29	39

将数学成绩分为两个层次：数学Ⅰ（大于等于80分）与数学Ⅱ（低于80分），物理也分为两个层次：物理Ⅰ（大于等于59分）与物理Ⅱ（低于59分）．
（1）根据这次考试的成绩完成下面2×2列联表，并运用独立性检验的知识进行探究，可否有95%的把握认为“数学成绩与物理成绩有关”？

	物理Ⅰ	物理Ⅱ	合计
数学Ⅰ	4
数学Ⅱ		15
合计			30

（2）从该班这次考试成绩中任取两名同学的成绩，记ξ为数学与物理成绩都达到Ⅰ层次的人数，求ξ的分布列与数学期望．
可能用到的公式和参考数据：K²=$\frac{（a+b+c+d）（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$
独立性检验临界值表（部分）

P（K2≥k0）	0.150	0.100	0.050	0.025	0.010
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

Answer 1

分析 （1）根据考试成绩填写列联表，利用公式计算K²，根据所给参数即可得出结论；
（2）由题意知ξ满足超几何分布，计算对应的概率，写出ξ的分布列与数学期望值．

解答 解：（1）根据这次考试的成绩填写2×2列联表，如下；

	物理Ⅰ	物理Ⅱ	合计
数学Ⅰ	4	11	15
数学Ⅱ	0	15	15
合计	4	26	30

假设数学成绩与物理成绩无关，由公式得
K²=$\frac{（a+b+c+d）（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{30{×（4×15-0×11）}^{2}}{15×15×4×26}$=$\frac{60}{13}$≈4.61＞3.841，
根据所给参数可知数学成绩与物理成绩无关的概率小于5%，
即有95%的把握认为“数学成绩与物理成绩有关”；
（2）由题意知ξ满足超几何分布，
从该班这次考试成绩中任取两名同学的成绩共有${C}_{30}^{2}$=435种可能，
抽取的两人均达到Ⅰ层次的概率是$\frac{{C}_{4}^{2}}{435}$=$\frac{6}{435}$=$\frac{2}{145}$，
抽取的两人仅有1人同时达到Ⅰ层次的概率是$\frac{{C}_{4}^{1}{•C}_{26}^{1}}{435}$=$\frac{104}{435}$，
抽取的两人同时到达层次Ⅰ的概率是1-$\frac{6}{435}$-$\frac{104}{435}$=$\frac{325}{435}$=$\frac{65}{87}$，
所以ξ的分布列为：

ξ	0	1	2
P（ξ）	$\frac{65}{87}$	$\frac{104}{435}$	$\frac{2}{145}$

ξ的数学期望为Eξ=0×$\frac{65}{87}$+1×$\frac{104}{435}$+2×$\frac{2}{145}$=$\frac{116}{435}$．

点评 本题考查了独立性检验与离散型随机变量的分布列与期望的计算问题，是综合性题目．