Question

11．随着智能手机的发展，微信越来越成为人们交流的一种方式．某机构对使用微信交流的态度进行调查，随机调查了 50 人，他们年龄的频数分布及对使用微信交流赞成人数如表．

年龄（岁）	[15，25）	[25，35）	[35，45）	[45，55）	[55，65）	[65，75）
频数	5	10	15	10	5	5
赞成人数	5	10	12	7	2	1

（I）由以上统计数据填写下面 2×2 列联表，并判断是否有99%的把握认为年龄45岁为分界点对使用微信交流的态度有差异；

	年龄不低于45岁的人	年龄低于45岁的人	合计
赞成
不赞成
合计

（Ⅱ）若对年龄在[55，65），[65，75）的被调查人中随机抽取两人进行追踪调查，记选中的4人中赞成使用微信交流的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望
参考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d
参考数据：

P（K2≥k0）	0.050	0.010	0.001
k0	3.841	6.635	10.828

Answer 1

分析 （I）根据题目中的数据填写列联表，利用公式计算K²，对照数表即可得出结论；
（Ⅱ）根据题意得出X的所有可能取值，计算对应的概率值，写出X的分布列与数学期望值．

解答 解：（I）由以上统计数据填写下面 2×2 列联表，如下；

	年龄不低于45岁的人	年龄低于45岁的人	合计
赞成	10	27	37
不赞成	10	3	13
合计	20	30	50

根据公式计算K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{50{×（10×3-10×27）}^{2}}{37×13×20×30}$≈9.98＞6.635，
所以有99%的把握认为年龄45岁为分界点对使用微信交流的态度有差异；
（Ⅱ）根据题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，
则P（X=0）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$•$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{10}$×$\frac{6}{10}$=$\frac{9}{50}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{•C}_{3}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$•$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$+$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$•$\frac{{C}_{1}^{1}{•C}_{4}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{6}{10}$×$\frac{6}{10}$+$\frac{3}{10}$×$\frac{4}{10}$=$\frac{12}{25}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}{•C}_{3}^{0}}{{C}_{5}^{2}}$•$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$+$\frac{{C}_{2}^{1}{•C}_{3}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$•$\frac{{C}_{4}^{1}{•C}_{1}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{1}{10}$×$\frac{6}{10}$+$\frac{6}{10}$×$\frac{4}{10}$=$\frac{3}{10}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{2}^{2}{•C}_{3}^{0}}{{C}_{5}^{2}}$•$\frac{{C}_{4}^{1}{•C}_{1}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{1}{10}$×$\frac{4}{10}$=$\frac{1}{25}$；
随机变量X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{9}{50}$	$\frac{12}{25}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{25}$

所以X的数学期望为EX=0×$\frac{9}{50}$+1×$\frac{12}{25}$+2×$\frac{3}{10}$+3×$\frac{1}{25}$=$\frac{30}{25}$=$\frac{6}{5}$．

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是综合性题目．