Question

定义函数y=f（x），x∈D（D为定义域）图象上的点到坐标原点的距离为函数的y=f（x），x∈D的模．若模存在最大值，则称之为函数y=f（x），x∈D的长距；若模存在最小值，则称之为函数y=f（x），x∈D的短距．
（1）分别判断函数f₁（x）=

1

x

与f₂（x）=

-x2-4x+5

是否存在长距与短距，若存在，请求出；
（2）求证：指数函数y=a^x（a＞0，a≠1）的短距小于1；
（3）对于任意x∈[1，2]是否存在实数a，使得函数f（x）=

2x|x-a|

的短距不小于2且长距不大于4．若存在，请求出a的取值范围；不存在，则说明理由？

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,基本不等式

专题：新定义

分析：（1）通过基本不等式及代入求值解出即可，（2）通过和单位圆作比较得出不等式求出t（x₀）＜1；（3）假设存在，将a分类讨论，解不等式求出并集即可．

解答： 解（1）设u(x)=

x2+ 1 x2

≥

2

（当且仅当x=±1取得等号）
∴f₁（x）短距为

2

，长距不存在．
设v(x)=

x2+(-x2-4x+5)

=

5-4x

，x∈[-5，1]
v（x）_min=v（1）=1v（x）_max=v（-5）=5f₂（x）短距为1，长距为5．  
（2）设t(x)=

x2+(ax)2

，t（0）=1，
∴y=a^x（a＞0，a≠1）的短距不大于1，

x2+(ax)2

=1
∴a^x=

1-x2

，y=a^x与单位圆存在两个交点
当a＞1时，存在-1＜x₀＜0使得：ax0＜

1-x02

，
∴t（x₀）＜1，
当0＜a＜1时，存在0＜x₀＜1使得ax0＜

1-x02

，
∴t（x₀）＜1
∴指数函数y=a^x（a＞0，a≠1）的短距小于1；
（3）设h(x)=

x2+2x|x-a|

，x∈[1，2]，
使得函数f(x)=

2x|x-a|

的短距不小于2且长距不大于4，
 即4≤x²+2x|x-a|≤16对于x∈[1，2]始终成立，
x²+2x|x-a|≥4对于x∈[1，2]始终成立：
当a＞2时：a≥

1

2

(x+

4

x

)对于x∈[1，2]始终成立，
∴a≥

5

2

，
当1≤a≤2时：取x=a即可知显然不成立
当a＜1时：a≤

1

2

(3x-

4

x

)对于x∈[1，2]始终成立，
∴a≤-

1

2

，
x²+2x|x-a|≤16对于x∈[1，2]始终成立，
即：

1

2

（3x-

16

x

）≤a≤

1

2

（x+

16

x

）对于x∈[1，2]始终成立：
∴-1≤a≤5；
综上  a∈[-1，-

1

2

]∪[

5

2

，5]．

点评：本题新定义了长距和短距，属于新定义问题，考察了函数最值及基本不等式的问题，渗透了分类讨论思想，有一定的综合性，是难度较大的题．