Question

已知数列{a_n}中，其中a₂=6，且

an+1+an-1

an+1-an+1

=n．
（1）求a₁，a₃，a₄；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）直接由a₂=6，结合数列递推式求得a₁，a₃，a₄；
（2）由数列的前4项归纳猜测出数列的一个通项公式，然后利用数学归纳法加以证明．

解答： 解：（1）由a₂=6，且

an+1+an-1

an+1-an+1

=n．
得

a2+a1-1

a2-a1+1

=1，即

6+a1-1

6-a1+1

=1，解得a₁=1；

a3+a2-1

a3-a2+1

=2，即

a3+6-1

a3-6+1

=2，解得a₃=15；

a4+a3-1

a4-a3+1

=3，即

a4+15-1

a4-15+1

=3，解得a₄=28；
（2）∵a₁=1=1×（2×1-1），
a₂=6=2×（2×2-1），
a₃=15=3×（2×3-1），
a₄=28=4×（2×4-1），
由上猜测a_n=n（2n-1）．
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，由已知可知成立；
②假设当n=k时成立，即a_k=k（2k-1），
则当n=k+1时，由

ak+1+ak-1

ak+1-ak+1

=k，得（k-1）a_k+1=（k+1）a_k-k（k+1），
a_k+1=（k+1）[2（k+1）-1]．
即n=k+1时结论成立．
综①②所述，a_n=n（2n-1）．

点评：本题考查了数列递推式，训练了利用数学归纳法证明与自然数有关的命题，是中档题．