Question

已知函数f（x）=

1

2

x²-alnx（a∈R）．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若a=-1，问：当x＞1时，f（x）＜

2

3

x³是否恒成立，并说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，确定切线的斜率，切点的坐标，即可求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）分类讨论，利用导数的正负，可求f（x）的单调区间；
（3）作差，利用函数的单调性，即可得出结论．

解答： 解：f（x）的定义域为（0，+∞），…（1分）
由题意得f′(x)=x-

a

x

(x＞0)…（2分）
（1）f'（1）=1-a，f(1)=

1

2

，
∴过点（1，f（1））处的切线方程为(1-a)x-y+a-

1

2

=0…（4分）
（2）当a≤0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．      …（5分）
当a＞0时，f′(x)=x-

a

x

=

x2-a

x

=

(x- a )(x+ a )

x

∴当0＜x＜

a

时，f′(x)＜0；    当x＞

a

时，f′(x)＞0…（8分）
∴当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为(

a

，+∞)，单调递减区间为(0，

a

)．…（9分）
（3）a=-1时，设g(x)=

2

3

x3-

1

2

x2-lnx(x＞1)，则g′(x)=2x2-x-

1

x

…（10分）
∵当x＞1时，g'（x）=

(x-1)(2x2+x+1)

x

＞0，
∴g（x）在（1，+∞）上是增函数．       …（12分）
∴g(x)＞g(1)=

1

6

＞0
即

2

3

x3-

1

2

x2-lnx＞0，…（13分）
∴

1

2

x2+lnx＜

2

3

x3
故当x＞1时，

1

2

x2+lnx＜

2

3

x3恒成立，即f(x)＜

2

3

x3恒成立    …（14分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查利用导数研究曲线上某点切线方程，正确求导是关键．