Question

设l₁，l₂，l₃为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4，5，6的直线．给出下列三个结论：
①?A_i∈l_i（i=1，2，3），使得△A₁A₂A₃是直角三角形；
②?A_i∈l_i（i=1，2，3），使得△A₁A₂A₃是等边三角形；
③三条直线上存在四点A_i（i=1，2，3，4），使得四面体A₁A₂A₃A₄为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体．其中，所有正确结论的序号是

 

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Answer 1

考点：空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：本题利用画图结合运动变化的思想进行分析．我们不妨先将 A、B、C 按如图所示放置，容易看出此时 BC＜AB=AC．现在，我们将 A 和 B 往上移，并且总保持 AB=AC（这是可以做到的，只要 A、B 的速度满足一定关系），而当A、B 移得很高很高时，就得到①和②都是正确的．至于③，结合条件利用反证法的思想方法进行说明即可．

解答： 解：我们不妨先将 A、B、C按如图所示放置．
容易看出此时 BC＜AB=AC．
现在，我们将 A 和 B 往上移，
并且总保持AB=AC（这是可以做到的，
只要 A、B 的速度满足一定关系），
而当A、B 移得很高很高时，
不难想象△ABC 将会变得很扁，
也就是会变成顶角A“非常钝”的一个等腰钝角三角形．
于是，在移动过程中，
总有一刻，使△ABC 成为等边三角形，
亦总有另一刻，使△ABC成为直角三角形（而且还是等腰的）．
这样，就得到①和②都是正确的．
至于③，如图所示．
为方便书写，称三条两两垂直的棱所共的顶点为?．
假设A是?，
那么由 AD⊥AB，AD⊥AC，
知 L₃⊥△ABC，
从而△ABC 三边的长就是三条直线的距离4、5、6，
这就与AB⊥AC 矛盾．
同理可知D是?时也矛盾；
假设C是?，
那么由BC⊥CA，BC⊥CD，
知BC⊥△CAD，
而 l₁∥△CAD，故 BC⊥l₁，
从而 BC 为 l₁与 l₂ 的距离，
于是 EF∥BC，EF=BC，这样就得到 EF⊥FG，矛盾．
同理可知 B 是?时也矛盾．
综上，不存在四点A_i（i=1，2，3，4），
使得四面体A₁A₂A₃A₄为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体．
故答案为：①②．

点评：本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．