Question

3．设抛物线y²=2px（p＞0）被直线y=x-1截得弦长为$2\sqrt{6}$．
（1）求抛物线方程．
（2）以此弦为底边，以x轴上的点P为顶点作三角形，当此三角形的面积为$5\sqrt{3}$时，求点P点坐标．

Answer 1

分析 （1）联立方程组，利用根与系数的关系和弦长公式列方程求出p即可；
（2）设P（x₀，0），利用距离公式求出P到弦的距离，根据面积列方程计算x₀．

解答 解：（1）联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{y=x-1}\end{array}\right.$，得x²-（2+2p）x+1=0，
设直线y=x-1与抛物线的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=2+2p，x₁x₂=1，
∴|AB|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（2+2p）^{2}-4}$=2$\sqrt{6}$，
解得P=-3（舍去）或P=1，
∴抛物线方程为y²=2x．
（2）设P点坐标为（x₀，0）则P到直线AB的距离为$\frac{{|{x_0}-1|}}{{\sqrt{2}}}$，
∴S_△PAB=$\frac{1}{2}$×$2\sqrt{6}$×$\frac{{|{x_0}-1|}}{{\sqrt{2}}}$=5$\sqrt{3}$，
解得x₀=-4，或x₀=6．
∴P坐标为（-4，0）或（6，0）．

点评 本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．