Question

12．已知点A为椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左顶点，B，C两点在椭圆E上，若四边形OABC为平行四边形，O为坐标系原点，∠OAB=30°，则椭圆E的离心率为（　　）

• A． $\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{4}$

Answer 1

分析 如图所示，四边形OABC为平行四边形，∠OAB=30°，直线OC的方程为：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得：x_C．同理联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}（x+a）}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得x_B．根据|OA|=|CB|=a，即x_C-x_B=a化简即可得出．

解答 解：如图所示，四边形OABC为平行四边形，∠OAB=30°，
∴直线OC的方程为：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得：x_C=$\frac{\sqrt{3}ab}{\sqrt{{a}^{2}+3{b}^{2}}}$．
同理联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}（x+a）}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，化为：（a²+3b²）x²+2a³x+a⁴-3a²b²=0．
解得x_B=a$-\frac{2{a}^{3}}{{a}^{2}+3{b}^{2}}$=$\frac{3a{b}^{2}-{a}^{3}}{{a}^{2}+3{b}^{2}}$．
∵|OA|=|CB|=a，
∴$\frac{\sqrt{3}ab}{\sqrt{{a}^{2}+3{b}^{2}}}$-$\frac{3a{b}^{2}-{a}^{3}}{{a}^{2}+3{b}^{2}}$=a．
化为：a=3b．
∴椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、平行四边形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．