Question

1．社会调查表明，家庭月收入x（单位：千元）与月储蓄y（单位：千元）具有线性相关关系，随机抽取了10个家庭，获得第i个家庭的月收入与月储蓄数据资料，算得$\sum_{i=1}^{10}$x_i=60，$\sum_{i=1}^{10}$y_i=15，$\sum_{i=1}^{10}$x_iy_i=180，$\sum_{i=1}^{10}$x${\;}_{i}^{2}$=540．
（Ⅰ）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$；
（Ⅱ）若某家庭月收入为5千元，预测该家庭的月储蓄．
参考公式：线性回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$中，$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$，其中$\overline{x}$，$\overline{y}$为样本平均值．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件求出，样本中心坐标，利用参考公式求出$\stackrel{∧}{a}$和$\stackrel{∧}{b}$，然后求出线性回归方程$\stackrel{∧}{y}$=0.5x-1.5；
（2）通过x=5，利用回归直线方程，推测该家庭的月储蓄．

解答 解：（1）由$\overline{x}$=$\frac{1}{10}$×$\sum_{i=1}^{10}$x_i=6，$\overline{y}$=$\frac{1}{10}$×$\sum_{i=1}^{10}$y_i=1.5，
$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{10}{x}_{i}{y}_{i}-10\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{10}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{180-10×6×1.5}{540-10×{6}^{2}}$=0.5，
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$=1.5-0.5×6=-1.5，
家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程$\stackrel{∧}{y}$=0.5x-1.5；
（2）当x=5时，$\stackrel{∧}{y}$=1，
某家庭月收入为5千元，该家庭的月储蓄1千元．

点评 本题考查线性回归方程的求解及应用，属基础题．