Question

12．如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且∠EDF=∠ECD．
（1）求证：△DEF∽△PEA；
（2）若EB=DE=6，EF=4，求PA的长．

Answer 1

分析 （1）证明∠APE=∠EDF．又结合∠DEF=∠AEP即可证明△DEF∽△PEA；
（2）利用△DEF∽△CED，求EC的长，利用相交弦定理，求EP的长，再利用切割线定理，即可求PA的长．

解答 （本题满分为10分）
解：（1）证明：∵CD∥AP，
∴∠APE=∠ECD，
∵∠EDF=∠ECD，
∴∠APE=∠EDF．
又∵∠DEF=∠AEP，
∴△DEF∽△PEA．…（5分）
（2）∵∠EDF=∠ECD，∠CED=∠FED，
∴△DEF∽△CED，
∴DE：EC=EF：DE，即DE²=EF•EC，
∵DE=6，EF=4，于是EC=9．
∵弦AD、BC相交于点E，∴DE•EA=CE•EB． …（7分）
又由（1）知EF•EP=DE•EA，故CE•EB=EF•EP，即9×6=4×EP，
∴EP=$\frac{27}{2}$．   …（8分）
∴PB=PE-BE=$\frac{15}{2}$，PC=PE+EC=$\frac{45}{2}$，
由切割线定理得：PA²=PB•PC，即PA²=$\frac{15}{2}$×$\frac{45}{2}$，进而PA=$\frac{{15\sqrt{3}}}{2}$．…（10分）

点评 本题考查与圆有关的比例线段，考查三角形的相似，考查相交弦定理，切割线定理的运用，属于中档题．