Question

16．若正△ABC的边长为a，其内一点P到三边距离分别为x，y，z，则S_△PAB+S_△PAC+S_△PBC=S_△ABC，于是$\frac{1}{2}$ax+$\frac{1}{2}$ay+$\frac{1}{2}$az=S_△ABC，x+y+z=$\frac{2{S}_{△ABC}}{a}$．类比推理，求解下面的问题．正四面体棱长为2，其内一点M到各个面的距离分别为d₁，d₂，d₃，d₄，则d₁+d₂+d₃+d₄的值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{6}}{3}$

Answer 1

分析 由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，可以结合由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．

解答 解：类比在正三角形ABC内部（不包括边界）任取一点P，P点到三边的距离分别为h₁，h₂，h₃，则h₁+h₂+h₃为定值，可得：
P是棱长为a的空间正四面体ABCD内的一点，则P点到四个面的距离之和h₁+h₂+h₃+h₄为定值，
如图：连接PA，PB，PC，PD，则三棱锥P-ABC，P-ABD，P-ACD，P-BCD的体积分别为：V₁，V₂，V₃，V₄，
由棱长为a可以得到BF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，BE=$\frac{2}{3}$BF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
在直角三角形ABE中，根据勾股定理可以得到
AE²=AB²-BE²，即AE=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，即h=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，（其中h为正四面体A-BCD的高），
故正四面体的体积V=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}a=\frac{\sqrt{2}}{12}{a}^{3}$，
正四面体的四个面△ABC，△ACD，△ABD，△BCD的面积均为 $\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$
则V=V₁+V₂+V₃+V₄=$\frac{1}{3}$（h₁+h₂+h₃+h₄） $\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$
解得：h₁+h₂+h₃+h₄=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，
∴即P是棱长为a的空间正四面体ABCD内的一点，则P点到四个面的距离之和h₁+h₂+h₃+h₄为定值 $\frac{\sqrt{6}}{3}$a．
又正四面体棱长为2，即a=2，
∴定值为$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查的知识点是类比推理，考查学生的推理论证能力，属于基础题．