Question

已知公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S₉=a₃₇+24，且a₁，a₄，a₁₃成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{

1

Sn

}的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，由题意列出方程组，求出公差和首项的值，即可得到数列{a_n}的通项公式．
（2）由（1）求出

1

Sn

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，利用裂项相消求出和．

解答： 解：（1）∵S₉=a₃₇+24，且a₁，a₄，a₁₃成等比数列．
∴

9a1+ 9×8 2 d=a1+36d+24 (a1+3d)2=a1•(a1+12d)

解得a₁=3，d=2
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n+1
（2）由（1）知，Sn=

(a1+an)n

2

=

(3+2n+1)n

2

=n(n+2)

1

Sn

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，
∴数列{

1

Sn

}的前n项和为

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

n

-

1

n+2

)]
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=

3

4

-

1

2n+2

-

1

2n+4

．

点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，等差数列的通项公式，用公式法和裂项相消法进行求和，属于中档题．