Question

已知函数f（x）=2sin

x

2

cos

x

2

+cosx，其中x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和值域；
（Ⅱ）把函数f（x）的图象向左平移

π

4

个单位长度，再向下平移

1

3

个单位长度，得到函数g（x）的图象，将函数g（x）在区间[-2π，2π]上的所有零点按从小到大的顺序分别记x₁，x₂，…x_n，分别求出n的值和x₁+x₂+…+x_n的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用二倍角以及两角和的正弦公式化简 f（x）为一个角的一个三角函数的形式，由周期公式求得函数的周期．利用正弦函数的值域求解函数的值域．
（Ⅱ）求出函数g（x）的表达式，依次求出函数的四个零点，求解和即可．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=2sin

x

2

cos

x

2

+cosx=

2

(

2

2

sinx+

2

2

cosx)=

2

sin(x+

π

4

)
∴函数的最小正周期为：T=2π，
∵x∈R∴-1≤sin（x+

π

4

)≤1≤1，
∴函数f（x）的值域是[-

2

，

2

]．
（Ⅱ）由题意可得函数g（x）=

2

sin(x+

π

4

+

π

4

)-

1

3

=

2

cosx-

1

3

，
对任意x[-2π，2π]，
函数g（-x）=

2

cos(-x)-

1

3

=

2

cosx-

1

3

=g（x），
∴g（x）是偶函数，
∵g（0）＞0，g（π）＜0．
∴g（x）在[0，π]上有一个零点x₁，
又g（x）在[0，π]上是减函数，
∴g（x）在[0，π]上只有一个零点，
同理g（x）在[π，2π]上有一个零点x₂，
函数是偶函数g（x）在[-π，0]与[-2π，-π]上各有一个零点x₃，x₄，
并且x₂=-x₃，x₁=-x₄，
函数g（x）在区间[-2π，2π]上的有4个零点，
并且x₁+x₂+x₃+x₄=0．

点评：本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的单调性和周期性，y=Asin（ωx+∅）的图象的变换，函数的零点的判断与应用，属于中档题．