Question

已知f（x）=1-x+lnx，g（x）=mx-1（m＞0）
（1）求函数y=f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≤g（x）恒成立，求m的取值范围；
（3）当m=2时，令b=f（a）+g（a）+2，求证：b-2a≤1．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）直接求导，令导数值为0，找出单调区间，（Ⅱ）令h（x）=f（x）-g（x）≤0，对h（x）求导，从而求出m的值，（Ⅲ）先求出b，再利用f（x）的表达式代入，问题得证．

解答： 解：（Ⅰ）求导f′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

，
由f′（x）=0，得x=1．
当x∈（0，1）时，f′（x）＞0；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0．
∴函数y=f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数．
（Ⅱ） 令h（x）=f（x）-g（x）=lnx-（1+m）x+2，
则h′（x）=

1

x

-（m+1），
∵m＞0，
∴m+1＞0，由h′（x）=0得x=

1

1+m

，
当x∈（0，

1

1+m

）时，h′（x）＞0，h（x）在（0，

1

1+m

）上是增函数；
当x∈（

1

1+m

，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）在（

1

1+m

，+∞）上是减函数．
∴h（x）在（0，+∞）上的最大值为：h（

1

1+m

）=1-ln（1+m）≤0，
解得：m≥e-1；
所以当m≥e-1时f（x）≤g（x）恒成立．
（Ⅲ）由题意知，b=lna+a+2．
由（Ⅰ）知：f（x）=lnx-x+1≤f（1），即有不等式lnx-x+1≤0（x＞0）．
于是：b=lna+a+2=lna-a+1+2a+1≤2a+1，
即：b-2a≤1．

点评：本题考察了导数的应用，求函数的单调区间，不等式恒成立问题，是一道综合题．