Question

已知α∈（0，

π

4

），β∈（0，π），且tan（α-β）=

1

2

，tanβ=-

1

7

，求tan（2α-β）的值及角2α-β．

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数

专题：三角函数的求值

分析：利用二倍角的正切可求得tan2（α-β）=

4

3

，再由两角和的正切即可求得tan（2α-β）的值及角2α-β．

解答： 解：∵tan（α-β）=

1

2

，
∴tan2（α-β）=

2tan(α-β)

1-tan2(α-β)

=

2× 1 2

1- 1 4

=

4

3

，
又tanβ=-

1

7

，β∈（0，π），
∴

π

2

＜β＜π，
∵α∈（0，

π

4

），
∴-π＜2α-β＜0，
∴tan（2α-β）=tan[（2α-2β）+β]=

tan(2α-2β)+tanβ

1-tan(2α-2β)tanβ

=

4 3 - 1 7

1+ 4 3 × 1 7

=1，
∴2α-β=-

3π

4

．

点评：本题考查两角和与差的正切函数，着重考查二倍角的正切与两角和的正切公式的应用，属于中档题．