Question

设函数f（x）=（

3

cos

x

2

+sin

x

2

）•cos

x

2

-

3

2

，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若f（A）=

3

2

且a=

3

2

b，求角B的值．

Answer 1

考点：三角函数的周期性及其求法,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式为f（x）=sin（x+

π

3

），从而求得函数的周期．
（2）△ABC中，由f（A）=

3

2

 求得A=

π

3

．由a=

3

2

b，利用正弦定理求得sinB的值，可得角B．

解答： 解：（1）函数f（x）=（

3

cos

x

2

+sin

x

2

）•cos

x

2

-

3

2

=

3

cos

x

2

•cos

x

2

+sin

x

2

•cos

x

2

-

3

2

=

3

•

1+cosx

2

+

1

2

sinx-

3

2

=sin（x+

π

3

），
故函数的最小正周期为

2π

1

=2π．
（2）△ABC中，∵f（A）=sin（A+

π

3

）=

3

2

，∴A=

π

3

．
又a=

3

2

b，∴sinA=

3

2

sinB，∴sinB=1，∴角B=

π

2

．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，根据三角函数的值求角，属于中档题．