Question

如图，多面体EF-ABCD中，已知ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，平面FBC⊥平面ABCD，EF=2．
（1）若M、N分别是AB、CD的中点，求证：平面MNE∥平面BCF；
（2）若△BCF中，BC边上的高FH=3，求多面体的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由ABCD是正方形，M、N是AB、CD中点，得MN∥BC，从而BFEM是平行四边形，由此能证明平面MNE∥平面BCF．
（2）分别求出四棱锥E-AMND的体积和三棱柱MNE-BCF的体积，由此能求出多面体EF-ABCD的体积．

解答： （1）证明：∵ABCD是正方形，M、N是AB、CD中点，
∴MN∥BC，
∵MB=2=EF，EF∥AB，
∴BFEM是平行四边形，
∴ME∥BF，
∵MN，ME?平面MNE，BC，BF?平面BCF，
∴平面MNE∥平面BCF
（2）解：∵EF∥AB，
∴四棱锥E-AMND的高就是FH，
∴四棱锥E-AMND的体积V₁=

1

3

×2×4×3=8，
∵平面FBC⊥平面ABCD，
∴MB就是三棱柱MNE-BCF的高，
∴三棱柱MNE-BCF的体积V₂=4×3÷2×2=12，
∴多面体EF-ABCD的体积V=V₁+V₂=20．

点评：本题考查平面与平面平行的证明，考查几何体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．