Question

数列{a_n}的通项公式为a_n=n²•cos

2nπ

3

(n∈N*)，其前n项和为S_n．
（Ⅰ）求a_3n-2+a_3n-1+a_3n及S_3n的表达式；
（Ⅱ）若b_n=

S3n

n•2n-1

，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）若c_n=

1

4 S 2 3n+1 -1

，令f（n）=c₁+c₂+…+c_n，求f（n）的取值范围．

Answer 1

考点：数列与三角函数的综合

专题：函数的性质及应用,等差数列与等比数列

分析：（1）根据三角函数的性质可得cos

2nπ

3

的值，代入求a_3n-2+a_3n-1+a_3n及S_3n
（2）得出b_n=

9n+4

2n

，利用错位相减的方法求解数列的和，
（3）得出f（n）=

1

4

×（1-

1

n+1

），根据函数单调性求解，注意n的范围，

解答： 解：（Ⅰ）∵an=n2•cos

2nπ

3

，
∴a3n-2+a3n-1+a3n=-

(3n-2)2

2

-

(3n-1)2

2

+9n2=

18n-5

2

，
∴S_3n=（a₁+a₂+a_3）+（a₄+a₅+a₆）+…+（a_3n-2+a_3n-1+a_3n）=

13

2

n+

n(n-1)

2

•

18

2

=

n(9n+4)

2

（Ⅱ）∵bn=

S3n

n•2n-1

=

9n+4

2n

，
∴Tn=

13

2

+

22

22

+

31

23

+…+

9n+4

2n

∴

1

2

Tn=

13

22

+

22

23

+

31

24

+…+

9n-5

2n

+

9n+4

2n+1

∴由错位相减法得
Tn=22-

9n+22

2n

（Ⅲ）由S3n+1=-

2n+1

2

，
得cn=

1

4n(n+1)

f(n)=c1+c2+…+cn=

1

4

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=

1

4

(1-

1

n+1

)，
根据关于n的单调递增函数f（1）=

1

8

，1-

1

n+1

＜1
可得

1

8

≤f(n)＜

1

4

点评：本题考查了数列，三角函数，不等式，函数的单调性，等知识综合运用，运算量大，难度较大．