Question

若x，y∈R，x＞0，y＞0，且x+y＞2．求证：

1+x

y

和

1+y

x

中至少有一个小于2．

Answer 1

考点：反证法与放缩法

专题：证明题,反证法

分析：本题证明结论中结构较复杂，而其否定结构简单，故可用反证法证明其否定不成立，以此来证明结论成立．

解答： 证明：假设

1+x

y

与

1+y

x

都大于或等于2，
即

1+x

y

≥2且

1+y

x

≥2，
∵x，y∈R⁺，故可化为1+x≥2y且1+y≥2x，
两式相加，得x+y≤2，
与已知x+y＞2矛盾．
∴假设不成立，即原命题成立．

点评：本考点是反证法证明命题，在作证明题时，对于一些条件相对较少或者证明时需要分类讨论的题型，最好试试用反证法能否证明问题．对于有些题如本题，用反证法证明可以大大降低题目的解决难度．