Question

已知数列{a_n}的前项和为S_n，满足a_n+S_n=2n
（Ⅰ）求证：数列{a_n-2}是等比数列
（Ⅱ）若不等式2λ-λ²＞（2n-3）（2-a_n）对任意的正整数恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）由递推式求出首项，结合已知递推式得到另一递推式，作差后得到数列{a_n-2}是等比数列；
（Ⅱ）设出数列b_n=（2n-3）（2-a_n），由数列{a_n-2}是等比数列求出a_n，代入b_n=（2n-3）（2-a_n）作差分析数列{b_n}的单调性，求出b_n的最大值，代入2λ-λ²＞（2n-3）（2-a_n）求解得答案．

解答： （Ⅰ）证明：由a_n+S_n=2n，得a₁+S₁=2a₁=2，即a₁=1．
由a_n+S_n=2n，可得a_n+1+S_n+1=2（n+1），
两式相减得2a_n+1-a_n=2．
∴an+1-2=

1

2

(an-2)．
∴数列{a_n-2}是首项为a₁-2=-1，公比为

1

2

的等比数列；
（Ⅱ）解：由{a_n-2}是首项为-1，公比为

1

2

的等比数列，得
an-2=-(

1

2

)n-1，则an=2-(

1

2

)n-1．
设b_n=（2n-3）（2-a_n），
代入a_n得bn=(2n-3)•(

1

2

)n-1．
bn+1-bn=

5-2n

2

•(

1

2

)n-1，
当n≤2时，b_n+1≥b_n；
当n≥3时，b_n+1＜b_n．
∴2λ-λ²＞（2n-3）（2-a_n）恒成立等价于2λ-λ2＞b3=

3

4

．
解得

1

2

＜λ＜

3

2

．
∴实数λ的取值范围是(

1

2

，

3

2

)．

点评：本题是数列与不等式的综合题，考查了等比关系的确定，考查了数列的函数特性，考查了不等式的解法，是中档题．