Question

已知命题p：方程

x2

2m

+

y2

9m

=1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线

y2

5

-

x2

m

=1的离心率e∈（

6

2

，

2

），若命题p，q中有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,简易逻辑

分析：先根据椭圆的标准方程，双曲线的离心率求出命题p，q下的m的取值范围，然后根据p，q中有且只有一个为真命题得到，p真q假，和p假q真两种情况，求出每种情况的m的取值范围再求并集即可．

解答： 解：命题p：方程

x2

2m

+

y2

9m

=1表示焦点在y轴上的椭圆，则：
9m＞2m＞0，即m＞0；
命题q：首先m＞0，∵双曲线

y2

5

-

x2

m

=1的离心率e∈（

6

2

，

2

），则：

6

2

＜

5+m

5

＜

2

，即

5

2

＜m＜5；
∴若命题p，q中有且只有一个为真命题，则：
p真q假时，

m＞0 0＜m≤ 5 2 ，或m≥5

，解得0＜m≤

5

2

，或m≥5；
p假q真时，

m≤0 5 2 ＜m＜5

，解得m∈∅；
∴实数m的取值范围是(0，

5

2

]∪[5，+∞)．

点评：考查椭圆的标准方程，椭圆的交点，双曲线的标准方程，以及双曲线的离心率．