Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）满足：2f（x）+xf′（x）＞x²，则f（x）在区间[-1，1]内（　　）

• A、没有零点
• B、恰有一个零点
• C、至少一个零点
• D、至多一个零点

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数零点的判定定理,导数的运算

专题：导数的综合应用

分析：可构造函数g（x）=x²f（x），利用导数判断其单调性，即可得出结论．

解答： 解：令g（x）=x²f（x），则g′（x）=x[2f（x）+xf′（x）]，
∵当x＞0时，f（x）满足：2f（x）+xf′（x）＞x²，
∴xg′（x）=x[2f（x）+xf′（x）]＞x³＞0，
∴当x＞0时，g（x）＞g（0）=0，∴f（x）＞0，
又∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴当x＜0时，f（x）＜0，
∴f（x）在区间[-1，1]内只有一个零点为x=0．
故选B．

点评：本题主要考查利用构造函数法判断函数零点的知识，合理的构造函数是解决问题的关键．