Question

已知函数f（x）=sin（2x+

π

3

）-

3

cos（2x+

π

3

）+4sin²x，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-

π

4

，

π

4

]上的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）f（x）=sin（2x+

π

3

）-

3

cos（2x+

π

3

）+4sin²x通过恒等变换转化成：f（x）=2

2

sin（2x-

π

4

）+2，
进一步求出最小正周期
（Ⅱ）先根据x∈[-

π

4

，

π

4

]，得2x-

π

4

∈[-

3π

4

，

π

4

]进一步求出函数的值域．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=f（x）=sin（2x+

π

3

）-

3

cos（2x+

π

3

）+4sin²x
=2sin（2x+

π

3

-

π

3

）-2cos2x+2=2

2

sin（2x-

π

4

）+2，
所以T=π
（Ⅱ）由x∈[-

π

4

，

π

4

]，得2x-

π

4

∈[-

3π

4

，

π

4

]
当2x-

π

4

=-

π

2

，即x=-

π

8

时，函数有最小值2-2

2

当2x-

π

4

=

π

4

，即x=

π

4

时，函数有最大值4．
所以，f（x）∈[2-2

2

，4]

点评：本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，正弦型函数的周期，根据定义域求正弦型函数的值域．