Question

已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）．
（Ⅰ）求证：无论m取什么实数，直线l都过定点，并写出这个定点的坐标；
（Ⅱ）求直线l被圆C截得的弦长最短时l的方程．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（1）先将直线方程整理成f₁（x）+λf₂（x）=0的形式，然后通过解方程即可求出其交点．
（2）易知，当定点与圆心连线垂直于该直线时，弦长最短，据此求出直线l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）证明：∵直线l的方程等价于（2x+y-7）m+x+y-4=0（1）．
令2x+y-7=0，则由x+y-4=0
∴

2x+y-7=0 x+y-4=0

，解得 

x=3 y=1

，
∴点（3，1）的坐标使方程（1）恒成立．
∴无论m取什么实数，直线l都过定点，定点的坐标为（3，1）．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，直线恒过定点P（3，1）．

当x=3，y=1时，（x-1）²+（y-2）²=（3-1）²+（1-2）²＜25
∴点P在圆C内．由图知，r²-d²=(

AB

2

)2．r是定值5．
∴当d取最大值时，AB最短．
又l⊥CP时，d取最大值．此时k_CP=-

1

2

，k_l=2．
∴l的方程为y-1=2（x-3），即2x-y-5=0．

点评：本题考查了交点直线系方程的特点及其应用，同时研究了直线与圆的相交弦问题，此类问题一般是结合垂径定理进行研究，即半径、弦心距、二分之一弦长符合勾股定理．由此进一步进行分析．