Question

已知函数f（x）=(

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)x的图象与函y=g（x）的图象关于直线y=x对称，令h（x）=g（1-x²），则关于h（x）有下列命题：
①h（x）的图象关于原点对称；         
②h（x）为偶函数；
③h（x）的最小值为0；               
④h（x）在（0，1）上为增函数．
其中正确命题的序号为

 

．（将你认为正确的命题的序号都填上）

Answer 1

考点：指数函数的图像与性质,对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：先根据函数f（x）=(

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)x的图象与函数g（x）的图象关于直线y=x对称，求出函数g（x）的解析式，然后根据奇偶性的定义进行判定，根据复合函数的单调性进行判定可求出函数的最值，从而得到正确选项．

解答： 解：∵函数f（x）=(

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)x的图象与函数g（x）的图象关于直线y=x对称，
∴g（x）=log

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(1-x2)
∵h（x）=g（1-x²）=log

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(1-x2)，x∈（-1，1）
而h（-x）=log

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(1-x2)=h（x）
则h（x）是偶函数，故①不正确，②正确
该函数在（-1，0）上单调递减，在（0，1）上单调递增
∴h（x）有最小值为0，无最大值
故选项③④正确，
故答案为：②③④

点评：本题主要考查了反函数，以及函数的奇偶性、单调性和最值，同时考查了奇偶函数图象的对称性，属于中档题．