Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1-2a_n=n+1，n∈N^*
（1）求证：数列{a_n+n+2}是等比数列；
（2）若数列{a_n}的前n项和为S_n，求a_n和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由a_n+1-2a_n=n+1，n∈N^*．变形为a_n+1+（n+3）=2（a_n+n+2），即可证明；
（2）由（1）可得a_n+n+2=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，可得an=2n+1-(n+2)．再利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： （1）证明：∵a_n+1-2a_n=n+1，n∈N^*．
∴a_n+1+（n+3）=2（a_n+n+2），
a₁+1+2=4，
∴数列{a_n+n+2}是等比数列，公比为2，首项为4；
（2）解：由（1）可得a_n+n+2=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，
∴an=2n+1-(n+2)．
∴数列{a_n}的前n项和为S_n=

4(2n-1)

2-1

-

n(3+n+2)

2

=2ⁿ⁺¹-4-

1

2

n2-

5

2

n．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．