题目内容
在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且
=
．
（1）求角B的大小；
（2）△ABC的外接圆半径是
，求三角形周长的范围．
| cosB |
| cosC |
| b |
| 2a-c |
（1）求角B的大小；
（2）△ABC的外接圆半径是
| 1 |
| 2 |
考点：余弦定理,正弦定理
专题：解三角形
分析：（1）已知等式右边利用正弦定理化简，整理后求出cosB的值，即可确定出B的度数；
（2）利用正弦定理化简a+b+c，将B度数及表示出的C代入，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可确定出周长的范围．
（2）利用正弦定理化简a+b+c，将B度数及表示出的C代入，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可确定出周长的范围．
解答：
解：（1）已知等式利用正弦定理化简得：
=
=
，
整理得：sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB，即2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，∴cosB=
，
则B=
；
（2）∵△ABC外接圆半径R=
，
∴由正弦定理得：a+b+c=2RsinA+2RsinB+2RsinC=sinA+sinB+sinC=
+sinA+sin（
-A）=
+
sin（A+
），
∵
＜A+
＜
，
∴
＜sin（A+
）≤1，
则三角形周长范围为（
，
]．
| cosB |
| cosC |
| b |
| 2a-c |
| sinB |
| 2sinA-sinC |
整理得：sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB，即2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，∴cosB=
| 1 |
| 2 |
则B=
| π |
| 3 |
（2）∵△ABC外接圆半径R=
| 1 |
| 2 |
∴由正弦定理得：a+b+c=2RsinA+2RsinB+2RsinC=sinA+sinB+sinC=
| ||
| 2 |
| 2π |
| 3 |
| ||
| 2 |
| 3 |
| π |
| 6 |
∵
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
∴
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
则三角形周长范围为（
| 3 |
3
| ||
| 2 |
点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
练习册系列答案
期末冲刺100分创新金卷完全试卷系列答案
相关题目