Question

已知函数f（x）=|x+2|+|x-1|．
（1）解不等式f（x）≤-x²+4；
（2）当f（x）≥|a-1|对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,函数恒成立问题

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）由绝对值的意义可得f（x）=|x+2|+|x-1|的最小值为3，结合题意可得3≥|a-1|，由此求得即a的范围．

解答： 解：（1）解不等式f（x）≤-x²+4，即|x+2|+|x-1|≤-x²+4，等价于
①

x＜-2 -x-2+1-x≤-x2+4

，或②

-2≤x＜1 x+2+1-x≤-x2+4

，或③

x≥1 x+2+x-1≤-x2+4

．
解①求得 x∈∅，解②求得-1≤x≤1，解③求x=1，
综上可得，不等式的解集为[-1，1]．
（2）由题意可得f（x）的最小值大于或等于|a-1|，而由绝对值的意义可得f（x）=|x+2|+|x-1|的最小值为3，
∴3≥|a-1|，即-3≤a-1≤3，
求得-2≤a≤4，
即a的范围是[-2，4]．

点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．