题目内容
如图，在三棱锥C-PAB中，AB⊥BC，PB⊥BC，PA=PB=5，AB=6，BC=4，点M是PC的中点，点N在线段AB上，且MN⊥AB．（Ⅰ）求AN的长；
（Ⅱ）求二面角M-NC-A的余弦值．
考点：用空间向量求平面间的夹角,棱锥的结构特征,与二面角有关的立体几何综合题
专题：空间角,空间向量及应用
分析：（Ⅰ）分别取AB，AC的中点O，Q，连结OP，OQ，设AN=a，以O为原点，以OP为x轴，以OA为y轴，以OQ为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AN．
（Ⅱ）分别求出平面MNC的一个法向量和平面ANC的一个法向量，利用向量法能求出二面角M-NC-A的余弦值．
（Ⅱ）分别求出平面MNC的一个法向量和平面ANC的一个法向量，利用向量法能求出二面角M-NC-A的余弦值．
解答：
解：（Ⅰ）如图，分别取AB，AC的中点O，Q，连结OP，OQ，
设AN=a，以O为原点，以OP为x轴，以OA为y轴，以OQ为z轴，
建立空间直角坐标系，
则由题意知：P（4，0，0），C（0，-3，4），
M（2，-
，2），N（0，3-a，0），
设N（x0，0，0），则
=(0，-6，0)，
=（-2，
-a，-2），
∵MN⊥AB，∴
•
=-2a+（
-a）（-6）-2•0=0，
解得AN=
．
（2）∵
=(-2，0，2)，
=(0，-
，4)，
设平面MNC的一个法向量为
=（x0，y0，z0），
则
，∴
，
令z0=3，则x0=-3，y0=8，即
=(-3，8，3)，
平面ANC的一个法向量为
=（1，0，0），
则|cos＜
，
＞|=
=
，
故二面角M-NC-A的余弦值为
．
设AN=a，以O为原点，以OP为x轴，以OA为y轴，以OQ为z轴，
建立空间直角坐标系，
则由题意知：P（4，0，0），C（0，-3，4），
M（2，-
| 3 |
| 2 |
设N（x0，0，0），则
| AB |
| MN |
| 9 |
| 2 |
∵MN⊥AB，∴
| AB |
| MN |
| 9 |
| 2 |
解得AN=
| 9 |
| 2 |
（2）∵
| MN |
| NC |
| 3 |
| 2 |
设平面MNC的一个法向量为
| n1 |
则
|
|
令z0=3，则x0=-3，y0=8，即
| n1 |
平面ANC的一个法向量为
| n2 |
则|cos＜
| n1 |
| n2 |
| 3 | ||
|
3
| ||
| 82 |
故二面角M-NC-A的余弦值为
3
| ||
| 82 |
点评：本题考查线段长的求法，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，注意向量法的合理运用．
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