Question

在周长为定值的△DEC中，已知|DE|=8，动点C的运动轨迹为曲线G，且当动点C运动时，cosC有最小值-

7

25

．
（1）以DE所在直线为x轴，线段DE的中垂线为y轴建立直角坐标系，求曲线G的方程；
（2）直线l分别切椭圆G与圆M：x²+y²=R²（其中3＜R＜5）于A、B两点，求|AB|的范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设|CD|+|CE|=2a（a＞4）为定值，则C点的轨迹是以D、E为焦点的椭圆，焦距2c=|DE|=8．再由cosC有最小值-

7

25

，推导出a²=25．由此能求出C点轨迹G的方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分别为直线l与椭圆和圆的切点，直线AB的方程为：y=kx+m，有

x2 25 + y2 9 =1 y=kx+m

，得（25k²+9）x²+50kmx+25（m²-9）=0，由此利用相切的性质能求出|AB|的范围．

解答： 解：（1）由题意设|CD|+|CE|=2a（a＞4）为定值，
∴C点的轨迹是以D、E为焦点的椭圆，∴焦距2c=|DE|=8．…..（2分）
∵cosC=

|CD|2+|CE|2-82

2|CD||CE|

=

(|CD|+|CE|)2-2|CD||CE|-64

2|CD||CE|

=

2a2-32

|CD||CE|

-1，
又|CD|•|CE|≤（

2a

2

）²=a²，∴cosC≥1-

32

a2

，…．（4分）
由题意得1-

32

a2

=-

7

25

，∴a²=25．
∴C点轨迹G的方程为

x2

25

+

y2

9

=1，x≠±5…..（6分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分别为直线l与椭圆和圆的切点，
直线AB的方程为：y=kx+m，∵A既在椭圆上，又在直线AB上，
∴

x2 25 + y2 9 =1 y=kx+m

，…..（8分）
消去y得：（25k²+9）x²+50kmx+25（m²-9）=0，
由于直线与椭圆相切，故△=（50km）²-4（25k²+9）×25（m²-9）=0，
从而可得：m²=9+25k²，①，x₁=-

25k

m

②…．（10分）
由

x2+y2=R2 y=kx+m

，消去y得：（k²+1）x²+2kmx+m²-R²=0．
由于直线与圆相切，得：m²=R²（1+k²），③，x₂=-

kR2

m

，④
由②④得：x₂-x₁=

k(25-R2)

m

；由①③得：k²=

R2-9

25-R2

，
∴|AB|²=（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²=（1+k²）（x₂-x₁）²
=

m2

R2

•

k2(25-R2)

m2

=

R2-9

R2

•

(25-R2)2

25-R2

=25+9-R²-

225

R2

，
∵3＜R＜5，∴30≤R2+

225

R2

＜34，
∴0＜|AB|²≤4，∴0＜|AB|≤2，
∴|AB|的范围是（0，2]．…．（14分）

点评：本题考查曲线的方程的求法，考查线段长的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．