Question

已知△ABC中，B（-2，0），C（2，0），△ABC的周长为12，动点A的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）设P、Q为E上两点，

OP

•

OQ

=0，过原点O作直线PQ的垂线，垂足为M，证明|OM|为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用B（-2，0），C（2，0），△ABC的周长为12，可得|AB|+|AC|=8＞4，从而A的轨迹为椭圆，且2a=8，2c=4，A，B，C不能共线，可得A点不能在x轴上，从而可求曲线E的方程；
（2）设直线PQ的方程为x=ny+m，代入椭圆方程，利用韦达定理，

OP

•

OQ

=0，结合向量的数量积，根据|OM|为点O（0，0）到直线PQ：x-ny-m=0的距离，即可证明|OM|为定值．

解答： （1）解：∵|AB|+|AC|+|BC|=12，|BC|=4，
∴|AB|+|AC|=8＞4，
∴A的轨迹为椭圆，且2a=8，2c=4，
∴a²=16，c²=4，b²=12，
∵A，B，C不能共线，∴A点不能在x轴上，
∴曲线E的方程为

x2

16

+

y2

12

=1(y≠0)…（5分）
（2）证明：设直线PQ的方程为x=ny+m，
由

x=ny+m x2 16 + y2 12 =1

得（4n²+3）y²+8mny+4m²-48=0，
∴y1+y2=-

8mn

4n2+3

，y1•y2=

4m2-48

4n2+3

…（2分）
∴x1x2=(ny1+m)(ny2+m)=n2y1y2+mn(y1+y2)+m2=

3m2-48n2

4n2+3

…（1分）
∵

OP

•

OQ

=0，∴x₁x₂+y₁•y₂=0，
∴

3m2-48n2

4n2+3

+

4m2-48

4n2+3

=0，
∴7m²-48n²-48=0…（1分）
∵|OM|为点O（0，0）到直线PQ：x-ny-m=0的距离，
∴|OM|=

|-m|

n2+1

，
∴|OM|2=

m2

n2+1

…（1分）
由7m²-48n²-48=0得m2=

48

7

(n2+1)…（1分）
∴|OM|2=

48 7 (n2+1)

n2+1

=

48

7

，
∴|OM|为定值…（1分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的定义，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，考查向量的数量积，属于中档题．