Question

已知曲线C的方程为：ax²+ay²-2a²x-4y=0（a≠0，a为常数）．
（1）判断曲线C的形状；
（2）设曲线C分别与x轴、y轴交于点A、B（A、B不同于原点O），试判断△AOB的面积S是否为定值？并证明你的判断；
（3）设直线l：y=-2x+4与曲线C交于不同的两点M、N，且|OM|=|ON|，求曲线C的方程．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）把方程化为圆的标准方程，可得结论；
（2）求出A，B的坐标，即可得出△AOB的面积S为定值；
（3）由圆C过坐标原点，且|OM|=|ON|，可得圆心（a，

2

a

）在MN的垂直平分线上，从而求出a，再判断a=-2不合题意即可．

解答： 解：（1）将曲线C的方程化为(x-a)2+(y-

2

a

)2=a2+

4

a2

--（2分）
可知曲线C是以点（a，

2

a

）为圆心，以

a2+ 4 a2

为半径的圆．-----------------------------（4分）
（2）△AOB的面积S为定值．-------------------------------------------（5分）
证明如下：
在曲线C的方程中令y=0得ax（x-2a）=0，得点A（2a，0），---------------------------（6分）
在曲线C的方程中令x=0得y（ay-4）=0，得点B（0，

4

a

），--------------------------（7分）
∴S=

1

2

|OA||OB|=

1

2

|2a||

4

a

|=4（为定值）．----------------------------------------（9分）
（3）∵圆C过坐标原点，且|OM|=|ON|，
∴圆心（a，

2

a

）在MN的垂直平分线上，∴

2

a2

=

1

2

，∴a=±2，--------------------（11分）
当a=-2时，圆心坐标为（-2，-1），圆的半径为

5

，
圆心到直线l：y=-2x+4的距离d=

|-4-1-4|

5

=

9

5

＞

5

，
直线l与圆C相离，不合题意舍去，--------------------------------------（13分）
∴a=2，这时曲线C的方程为x²+y²-4x-2y=0．-----------------------------------（14分）

点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于中档题．