Question

15．已知数列{a_n}的第一项a₁=5且S_n-1=a_n（n≥2，n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄，并由此猜想a_n的表达式；
（2）用数学归纳法证明{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）利用S_n-1=a_n，代入计算，可得结论，猜想a_n=5×2^n-2（n≥2，n∈N^*）．
（2）用归纳法进行证明，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．

解答 解：（1）a₂=S₁=a₁=5，
a₃=S₂=a₁+a₂=10，
a₄=S₃=a₁+a₂+a₃=20．
猜想：a_n=5•2^n-2（n≥2，n∈N^*）．
（2）当n=2时，a₂=5×2⁰=5，结论成立．
假设n=k时，结论成立，即a_k=5•2^k-2．
则a_k+1=S_k=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_k=5+5+10+…+5×2^k-2=5+$\frac{5（1-{2}^{k-1}）}{1-2}$=5×2^k-1，
故n=k+1时猜想成立，
由①②可知对n≥2，n∈N^*，a_n=5×2^n-2，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{5，n=1}\\{5•{2}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 此题主要考查归纳法的证明，归纳法一般三个步骤：（1）验证n=1成立；（2）假设n=k成立；（3）利用已知条件证明n=k+1也成立，从而得证，这是数列的通项一种常用求解的方法．