Question

5．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足条件a_n+S_n=n²+3n，数列{b_n}满足条件b_n=$\sqrt{1+\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}+\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，M为正整数．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若数列{b_n}的前2015项的和T₂₀₁₅≥M，求M的最大值．

Answer 1

分析 （1）由a_n+S_n=n²+3n，n=1时，解得a₁=2．n≥2时，可得：2a_n-a_n-1=2n+2，变形为：a_n-2n=$\frac{1}{2}[{a}_{n-1}-2（n-1）]$，即可得出a_n．
（2）b_n=$\sqrt{1+\frac{1}{4{n}^{2}}+\frac{1}{4（n+1）^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{n（n+1）}+\frac{1}{4{n}^{2}（n+1）^{2}}}$＜1+$\frac{1}{2n（n+1）}$=1+$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．可得1＜b_n＜1+$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．即可得出．

解答 解：（1）∵a_n+S_n=n²+3n，∴n=1时，2a₁=4，解得a₁=2．
n≥2时，a_n-1+S_n-1=（n-1）²+3（n-1），可得：2a_n-a_n-1=2n+2，
变形为：a_n-2n=$\frac{1}{2}[{a}_{n-1}-2（n-1）]$，
∵a₁=2，∴a₂=4，以此类推可得：a_n=2n．（n=1时也成立）．
（2）b_n=$\sqrt{1+\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}+\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{4{n}^{2}}+\frac{1}{4（n+1）^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{2{n}^{2}+2n+1}{4{n}^{2}（n+1）^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{n（n+1）}+\frac{1}{4{n}^{2}（n+1）^{2}}}$＜1+$\frac{1}{2n（n+1）}$=1+$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴1＜b_n＜1+$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴数列{b_n}的前n项和满足：n＜T_n＜n+$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{n+1}）$．
∴2015＜T₂₀₁₅＜2015+$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2016}）$，
∴满足T₂₀₁₅≥M的M的最大值为2015．

点评 本题考查了数列的通项公式及其前n项和、“放缩法”、数列的单调性、不等式的解法、递推关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．