Question

5．过抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F且倾斜角为45°的直线交C于A，B两点，若以AB为直径的圆被x轴截得的弦长为16$\sqrt{3}$，则p的值为8．

Answer 1

分析 求得抛物线的焦点，设出直线AB的方程，代入抛物线的方程，运用韦达定理和抛物线的定义，根据以AB为直径的圆被x轴截得的弦长为16$\sqrt{3}$，即可得到所求值．

解答 解：抛物线y²=2px的焦点F为（$\frac{p}{2}$，0），
设直线AB的方程为y-0=x-$\frac{p}{2}$，
即为y=x-$\frac{p}{2}$，代入抛物线的方程，可得x²-3px+$\frac{{p}^{2}}{4}$=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=3p，x₁x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$，
∴y₁+y₂=2p
由抛物线的定义可得，|AB|=x₁+x₂+p=4p．
∵以AB为直径的圆被x轴截得的弦长为16$\sqrt{3}$，
∴4p²=（8$\sqrt{3}$）²+p²，∴p=8
故答案为：8．

点评 本题考查抛物线的定义和方程、性质的运用，考查直线和抛物线的方程联立，运用韦达定理，考查运算能力，属于中档题．