Question

如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=2，F为线段DE的中点．
（Ⅰ）求证：BE∥平面ACF；
（Ⅱ）求二面角C-BF-E的平面角的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）连结BD和AC交于O，连结OF，由已知得OF∥BE，由此能证明BE∥平面ACF．
（Ⅱ）以D为原点，以DE为x轴建立坐标系，利用向量法能求出二面角C-BF-E的平面角的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：连结BD和AC交于O，连结OF，…（1分）
∵ABCD为正方形，∴O为BD中点，
∵F为DE中点，∴OF∥BE，…（3分）
∵BE?平面ACF，OF?平面ACF，
∴BE∥平面ACF．…（4分）
（Ⅱ）解：∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，
∴AE⊥CD，∵ABCD为正方形，∴CD⊥AD，
∵AE∩AD=A，AD，AE?平面DAE，∴CD⊥平面DAE，
∵DE?平面DAE，∴CD⊥DE…（6分）
∴以D为原点，以DE为x轴建立如图所示的坐标系，
则E（2，0，0），F（1，0，0），A（2，0，2），D（0，0，0）
∵AE⊥平面CDE，DE?平面CDE，∴AE⊥DE，∵AE=DE=2，
∴AD=2

2

，∵ABCD为正方形，∴CD=2

2

，∴C(0，2

2

，0)，
由ABCD为正方形可得：

DB

=

DA

+

DC

=(2，2

2

，2)，∴B(2，2

2

，2)
设平面BEF的法向量为

n1

=(x1，y1，z1)，

BE

=(0，-2

2

，-2)，

FE

=(1，0，0)
由

n1 • BE =0 n1 • FE =0

⇒

-2 2 y1-2z1=0 x1=0

，
令y₁=1，则z1=-

2

∴

n1

=(0，1，-

2

)…（8分）
设平面BCF的法向量为

n2

=(x2，y2，z2)，

BC

=(-2，0，-2)，

CF

=(1，-2

2

，0)
由

n2 • BC =0 n2 • CF =0

⇒

-2x2-2z2=0 x2-2 2 y2=0

，
令y₂=1，则x2=2

2

，z2=-2

2

，
∴

n2

=(2

2

，1，-2

2

)…（10分）
设二面角C-BF-E的平面角的大小为θ，则cosθ=cos(π-＜

n1

，

n2

＞)=-cos＜

n1

，

n2

＞=-

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=-

1+4

3 × 17

=-

5 51

51

∴二面角C-BF-E的平面角的余弦值为-

5 51

51

…（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．