题目内容

判断椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）中，以焦点弦PQ为直径的圆与对应准线的位置关系，并证明．
考点：椭圆的简单性质,圆的标准方程,直线与圆的位置关系
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：作出图象，由椭圆的第二定义和梯形的中位线可判|PQ|＜|PC|+|QD|，由直线和圆的位置关系可解．
解答： 解：以焦点弦PQ为直径的圆与对应准线的位置关系为：相离，下面证明，
不妨设右准线为l，PQ为过右焦点的弦，P、Q在l上的射影分别为C、D
连接PC、QD，设PQ的中点为M，作MN⊥l于N，
根据圆锥曲线的统一定义，可得
|PF|
|PC|
=
|QF|
|QD|
=e，可得
|PF|+|QF|
|PC|+|QD|
=e＜1
∴|PF|+|QF|＜|PC|+|QD|，即|PQ|＜|PC|+|QD|，
∵以PQ为直径的圆半径为r=
1
2
|PQ|，|MN|=
1
2
（|PC|+|QD|）
∴圆心M到l的距离|MN|＞r，∴直线l与以PQ为直径的圆相离
点评：本题考查椭圆的性质，涉及椭圆的第二定义以及直线和圆的位置关系，属中档题．
练习册系列答案
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1
anan+1
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4bn+1
bn-1
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1
n
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1
2
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1
2
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（1）5
 
A；   
（2）7
 
A；
（3）-10
 
A．

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