题目内容
已知f（x）=x3-6x2+9x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0，则abc的取值范围为（ ）
| A、（0，4） |
| B、（0，1） |
| C、（-1，+∞） |
| D、（4，+∞） |
考点：根的存在性及根的个数判断
专题：导数的综合应用
分析：导数法可得函数的单调性和极值，结合图象可得a＜1＜b＜3＜c，进而可得f（1）=4-abc＞0，且f（3）=-abc＜0，解不等式组可得．
解答：
解：求导函数可得f′（x）=3x2-12x+9=3（x-1）（x-3）
∴当1＜x＜3时，f′（x）＜0；当x＜1，或x＞3时，f′（x）＞0
∴f（x）的单调递增区间为（-∞，1）和（3，+∞），单调递减区间为（1，3）
∴f（x）极大值为f（1）=1-6+9-abc=4-abc，极小值为f（3）=27-54+27-abc=-abc
要使f（x）=0有三个解a、b、c，那么结合函数f（x）草图可知：a＜1＜b＜3＜c
∵函数有零点x=b在1～3之间，∴f（1）=4-abc＞0，且f（3）=-abc＜0
解得0＜abc＜4，即abc的取值范围为（0，4）
故选：A
解：求导函数可得f′（x）=3x2-12x+9=3（x-1）（x-3）∴当1＜x＜3时，f′（x）＜0；当x＜1，或x＞3时，f′（x）＞0
∴f（x）的单调递增区间为（-∞，1）和（3，+∞），单调递减区间为（1，3）
∴f（x）极大值为f（1）=1-6+9-abc=4-abc，极小值为f（3）=27-54+27-abc=-abc
要使f（x）=0有三个解a、b、c，那么结合函数f（x）草图可知：a＜1＜b＜3＜c
∵函数有零点x=b在1～3之间，∴f（1）=4-abc＞0，且f（3）=-abc＜0
解得0＜abc＜4，即abc的取值范围为（0，4）
故选：A
点评：本题考查根的存在性及个数的判断，涉及导数和极值以及属性结合的应用，属中档题．
练习册系列答案
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A、
| ||
| B、2 | ||
| C、3 | ||
D、
|
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围成的区域的面积是（ ）
|
| A、6 | B、7 | C、8 | D、9 |
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| B、必要不充分条件 |
| C、充分必要条件 |
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•
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| PA |
| PB |
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| B、（4，0） | ||
C、（
| ||
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