Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点P（2，

2

），且离心率为

2

2

，
（1）求椭圆的方程；
（2）设B₁，B₂为椭圆C的下、上顶点．直线l：y=kx+4交椭圆C于两点M、N，设直线B₁M、B₂N的斜率分别为k₁、k₂，证明：k₁+3k₂=0．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件得

4 a2 + 2 b2 =1 e= c a = 2 2 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆的方程．
（Ⅱ）联立

y=kx+4 x2 8 + y2 4 =1

，得（2k²+1）x²+16kx+24=0，由此利用韦达定理结合已知条件能证明k₁+3k₂=0．

解答： （Ⅰ）解：∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点P（2，

2

），且离心率为

2

2

，
∴

4 a2 + 2 b2 =1 e= c a = 2 2 a2=b2+c2

，解得a²=8，b²=4，
∴椭圆的方程为

x2

8

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）证明：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
联立

y=kx+4 x2 8 + y2 4 =1

，得（2k²+1）x²+16kx+24=0，
则x1+x2=-

16k

2k2+1

，x1x2=

24

2k2+1

，
∴k1+3k2=

y1+2

x1

+3•

y2-2

x2

=

(kx1+6)x2+3(kx2+2)x1

x1x2

=4k+6•(-

16k

2k2+1

)•

2k2+1

24

=0，
∴k₁+3k₂=0．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用．