Question

若数列{b_n}：对于n∈N^*，都有b_n+2-b_n=d（常数），则称数列{b_n}是公差为d的准等差数列．设数列{a_n}满足：a₁=a，对于n∈N^*，都有a_n+a_n+1=2n．
（1）求证：{a_n}为准等差数列，并求其通项公式；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₆₃＞2014，求a的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）因为对于n∈N^*，都有a_n+a_n+1=2n…①，所以a_n+1+a_n+2=2（n+1）…②，②-①，可得a_n+2-a_n=2，据此证明{a_n}为准等差数列，然后分n为奇数和n为偶数两种情况，求出其通项公式即可；
（2）首先根据{a_n}的通项公式，求出它的前63项和S₆₃，是一个含有a的算式；然后根据S₆₃＞2014，解不等式，求出a的取值范围即可．

解答： 解：（1）因为对于n∈N^*，都有a_n+a_n+1=2n…①，
所以a_n+1+a_n+2=2（n+1）…②，
②-①，可得a_n+2-a_n=2，
因此{a_n}为公差是2的准等差数列；
当n为奇数时，an=a+(

n+1

2

-1)×2=n+a-1，
当n为偶数时，an=2-a+(

n

2

-1)•2=n-a，
∴an=

n+a-1，(n为奇数) n-a，(n为偶数)

；
（2）在S₆₃=a₁+a₂+…+a₆₃中，有32个奇数项和31个偶数项，
∴S₆₃=32（a-1）+（1+3+…+63）+（2+4+…+62）-31a=1984+a，
∵S₆₃＞2014，
∴1984+a＞2014，
∴a＞30．

点评：本题主要考查了准等差数列的通项公式，以及等差数列的求和公式的综合应用，属于中档题，解答此题的关键是正确理解新定义和分类讨论的思想．