Question

已知a，b，c∈R，a²+b²+c²=1．
（Ⅰ）求证：|a+b+c|≤

3

；
（Ⅱ）若不等式|x-1|+|x+1|≥（a+b+c）²对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,不等式的证明

专题：计算题,证明题,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）由柯西不等式得，（a+b+c）²≤（1²+1²+1²）（a²+b²+c²），即可得证；
（Ⅱ）不等式|x-1|+|x+1|≥（a+b+c）²对一切实数a，b，c恒成立，则由（Ⅰ）可知，|x-1|+|x+1|≥3，运用绝对值的定义，即可解出不等式．

解答： （Ⅰ）证明：由柯西不等式得，（a+b+c）²≤（1²+1²+1²）（a²+b²+c²），
即有（a+b+c）²≤3，即有|a+b+c|≤

3

；
（Ⅱ）解：不等式|x-1|+|x+1|≥（a+b+c）²对一切实数a，b，c恒成立，
则由（Ⅰ）可知，|x-1|+|x+1|≥3，
由x≥1得，2x≥3，解得，x≥

3

2

；
由x≤-1，-2x≥3解得，x≤-

3

2

，
由-1＜x＜1得，2≥3，不成立．
综上，可得x≥

3

2

或x≤-

3

2

．
则实数x的取值范围是（-∞，-

3

2

]∪[

3

2

，+∞）．

点评：本题考查柯西不等式的运用，考查不等式恒成立问题，考查绝对值不等式的解法，属于中档题．