Question

已知函数f（x）=alnx+bx（a，b∈R），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x-2y-2=0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x＞1时，f（x）+

k

x

＜0恒成立，求实数k的取值范围；
（3）设n是正整数，用n!表示前n个正整数的积，即n!=1•2•3…n．求证：n!＜e 

n(n+1)

4

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出函数f（x）的导函数，根据在x=1处的导数等于切线的斜率建立等量关系，以及切点在曲线上建立等式关系，解之即可．
（2）由题意可得k＜

x2

2

-xlnx．令g（x）=

x2

2

-xlnx，则利用导数判断函数的单调性，求出函数g（x）的最小值即可；
（3）由（2）知，当x＞1时，f（x）＜0（k=0），又 x=1时f（x）＜0也成立，所以当x≥1时，lnx＜

x

2

，于是ln1＜

1

2

，ln2＜

2

2

，ln3＜

3

2

，…，lnn＜

n

2

，
上述各式相加即可得出结论．

解答： （1）解：∵f（x）=alnx+bx，∴f′（x）=

a

x

+b．
∵直线x-2y-2=0的斜率为

1

2

，且曲线y=f（x）过点（1，-

1

2

），
∴

f(1)=- 1 2 f′(1)= 1 2

，即

b=- 1 2 a+b= 1 2

，解得a=1，b=-

1

2

．
所以 f（x）=lnx-

x

2

．
（2）解：由（1）得当x＞1时，f（x）+

k

x

＜0恒成立即 lnx-

x

2

+

k

x

＜0，
等价于k＜

x2

2

-xlnx．
令g（x）=

x2

2

-xlnx，则g′（x）=x-（lnx+1）=x-1-lnx．
令h（x）=x-1-lnx，则h′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

．
当x＞1时，h′（x）＞0，函数h（x）在（1，+∞）上单调递增，故h（x）＞h（1）=0．
从而，当x＞1时，g′（x）＞0，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，
故g（x）＞g（1）=

1

2

．
因此，当x＞1时，k＜

x2

2

-xlnx．恒成立，则k≤

1

2

．
∴k的取值范围是（-∞，

1

2

]．
（3）证明：由（2）知，当x＞1时，f（x）＜0（k=0），
又 x=1时f（x）＜0也成立，
所以当x≥1时，lnx＜

x

2

，于是
ln1＜

1

2

，ln2＜

2

2

，ln3＜

3

2

，…，lnn＜

n

2

，
上述各式相加得，ln（1×2×3×…×n）＜

1+2+3+…+n

2

，
即lnn!＜

n(n+1)

4

，∴n!＜e

n(n+1)

4

．

点评：本题主要考查导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性、最值等知识，考查学生分析问题、解决问题的能力及运算求解能力，属于难题．