题目内容
已知二次函数f（x）=-x2+bx（（b为常数）满足条件：方程f（x）=2x有两个相等的实数根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在实数m，n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[4m，4n]？如果存在，请求出来．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在实数m，n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[4m，4n]？如果存在，请求出来．
考点：二次函数的性质
专题：函数的性质及应用
分析：（1）由f（x）=2x，得到-x2+（b-2）x=0，根据△=0，解出b的值即可；（2）结合二次函数的性质得到方程组解出即可．
解答：
解：（1）由f（x）=2x得-x2+（b-2）x=0，
因为方程f（x）=2x有两个相等的实数根，则（b-2）2=0，
即b=2，
∴f（x）=-x2+2x；
（2）∵f（x）=-x2+2x=-（x-1）2+1≤1，
∴4n≤1即n≤
，
又函数f（x）的对称轴为x=1，
∴n≤
，函数f（x）在区间[m，n]单调递增，
若满足题意的m，n存在，则
，
即
，
解得
，
又m＜n≤
，
∴m=-2，n=0，
此时定义域为[-2，0]，值域为[-8，0]．
因为方程f（x）=2x有两个相等的实数根，则（b-2）2=0，
即b=2，
∴f（x）=-x2+2x；
（2）∵f（x）=-x2+2x=-（x-1）2+1≤1，
∴4n≤1即n≤
| 1 |
| 4 |
又函数f（x）的对称轴为x=1，
∴n≤
| 1 |
| 4 |
若满足题意的m，n存在，则
|
即
|
解得
|
又m＜n≤
| 1 |
| 4 |
∴m=-2，n=0，
此时定义域为[-2，0]，值域为[-8，0]．
点评：本题考查了二次函数的性质，考查了根的判别式，是一道中档题．
练习册系列答案
相关题目
设
，
的夹角为θ，若||
|-|
||=|
+
|，则（ ）
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| A、cosθ=-1 |
| B、cosθ=1 |
| C、-1＜cosθ＜0 |
| D、0＜cosθ＜1 |