Question

已知函数f（x）=（x+1）²，若存在实数a，使得f（x+a）≤2x-4对任意的x∈[2，t]恒成立，则实数t的最大值为

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：先由f（x）=（x+1）^2和f（x+a）≤2x-4得（x+a+1）²≤2x-4，化简得（x+a）²+2a+5≤0，令g（x）=（x+a）²+2a+5，利用函数性质将恒成立问题转化为g（2）≤0且g（t）≤0，求解t的范围，最后求出最值．

解答： 解：∵f（x）=（x+1）²，
∴f（x+a）≤2x-4，即为（x+a+1）²≤2x-4，
化简（x+a）²+2a+5≤0，
设g（x）=（x+a）²+2a+5，g（x）图象为开口向上的抛物线，
若对任意的x∈[2，t]，g（x）≤0恒成立，只需函数在两个端点处的函数值非正即可，
即g（2）=a²+6a+9≤0，配方得（a+3）²≤0则a+3=0，a=-3
  此时g（t）≤0即为g（t）=（t-3）²-1≤0即-1≤t-3≤1，解得2≤t≤4，
 又∵t＞2，
∴2＜t≤4，
 则t的最大值为4．

点评：恒成立问题的转化，本题利用了二次函数的图象及性质求解，是一种重要的方法．