Question

已知函数f（x）=

x2

x-a

，a∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）在（1，2）上是单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数的单调性及单调区间

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：本题考察函数的单调性．
（Ⅰ）先写出函数的定义域，然后求导数，分a=0，a＞0，a＜0，利用导数的符号讨论函数的单调性即可，
（Ⅱ）结合（Ⅰ）中的函数单调性，对a进行分类讨论，又x∈（1，2），分成a≤0，0＜2a≤1，1＜2a＜2，2a≥2四种情况进行讨论．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定义域为{x|x≠a}.f′(x)=

x(x-2a)

(x-a)2

．
①当a=0时，f（x）=x（x≠0），f'（x）=1，则x∈（-∞，0），（0，+∞）时，f（x）为增函数；
②当a＞0时，
由f'（x）＞0得，x＞2a或x＜0，由于此时0＜a＜2a，所以x＞2a时，f（x）为增函数，x＜0时，f（x）为增函数；
由f'（x）＜0得，0＜x＜2a，考虑定义域，当0＜x＜a，f（x）为减函数，a＜x＜2a时，f（x）为减函数；
③当a＜0时，
由f'（x）＞0得，x＞0或x＜2a，由于此时2a＜a＜0，所以当x＜2a时，f（x）为增函数，x＞0时，f（x）为增函数．
由f'（x）＜0得，2a＜x＜0，考虑定义域，当2a＜x＜a，f（x）为减函数，a＜x＜0时，f（x）为减函数．
综上，当a=0时，函数f（x）的单调增区间为（-∞，0），（0，+∞）．
当a＞0时，函数f（x）的单调增区间为x∈（-∞，0），（2a，+∞），单调减区间为（0，a），（a，2a）．
当a＜0时，函数f（x）的单调增区间为x∈（-∞，2a），（0，+∞），单调减区间为（2a，a），（a，0）．
（Ⅱ）①当a≤0时，由（Ⅰ） 可得，f（x）在（1，2）单调增，且x∈（1，2）时，x≠a．
②当0＜2a≤1时，即0＜a≤

1

2

时，由（Ⅰ） 可得，f（x）在（2a，+∞）单调增，即在（1，2）单调增，且x∈（1，2）时，x≠a．
③当1＜2a＜2时，即

1

2

＜a＜1时，由（Ⅰ） 可得，f（x）在（1，2）上不具有单调性，不合题意．
④当2a≥2，即a≥1时，由（Ⅰ）可得，f（x）在（0，a），（a，2a）为减函数，
同时需注意a∉（1，2），满足这样的条件时f（x）在（1，2）单调减，所以此时a=1或a≥2．
综上所述，a≤

1

2

或a=1或a≥2．

点评：本题易忽略函数的定义域，在讨论函数的性质的题目中一定要先求出函数的定义域，在定义域内讨论；难点是分类讨论较复杂，要做到不重不漏，按照数轴从左向右讨论，还要注意特殊情况．