Question

已知：n∈Z，f（n）=cos（

3n+1

3

π+θ）+cos（

3n-1

3

π-θ）．
（1）分别求出f（1），f（2），f（3），f（4）的值；
（2）猜想f（2k-1），f（2k）（k∈Z）的表达式，并对猜想的结果进行验证．

Answer 1

考点：归纳推理,运用诱导公式化简求值

专题：计算题,三角函数的图像与性质,推理和证明

分析：（1）将1，2，3，4代入f（n）=cos（

3n+1

3

π+θ）+cos（

3n-1

3

π-θ）求出f（1），f（2），f（3），f（4）；
（2）猜想f（2k-1）=-2cos（

1

3

π+θ），f（2k）=2cos（

1

3

π+θ），（k∈Z）；利用三角恒等变换化简．

解答： 解：（1）f（1）=cos（π+

1

3

π+θ）+cos（π-

1

3

π-θ）=-2cos（

1

3

π+θ），
f（2）=cos（2π+

1

3

π+θ）+cos（2π-

1

3

π-θ）=2cos（

1

3

π+θ），
f（3）=cos（3π+

1

3

π+θ）+cos（3π-

1

3

π-θ）=-2cos（

1

3

π+θ），
f（4）=cos（4π+

1

3

π+θ）+cos（4π-

1

3

π-θ）=2cos（

1

3

π+θ）；
（2）猜想f（2k-1）=-2cos（

1

3

π+θ），f（2k）=2cos（

1

3

π+θ），（k∈Z）；
证明如下：
f（2k-1）=cos（（2k-1）π+

1

3

π+θ）+cos（（2k-1）π-

1

3

π-θ）
=cos（-π+

1

3

π+θ）+cos（-π-

1

3

π-θ）
=-2cos（

1

3

π+θ），
f（2k）=cos（2kπ+

1

3

π+θ）+cos（2kπ-

1

3

π-θ）
=cos（

1

3

π+θ）+cos（-

1

3

π-θ）
=2cos（

1

3

π+θ）．

点评：本题考查了归纳推理的应用及三角恒等变换的应用，属于基础题．