Question

已知数列{a_n}的前n项和是S_n，且4S_n=（a_n+1）²，则下列说法正确的是（　　）

• A、数列{a_n}为等差数列
• B、数列{a_n}为等差数列或等比数列
• C、数列{a_n}为等比数列
• D、数列{a_n}可能既不是等差数列也不是等比数列

Answer 1

考点：等比关系的确定,等差关系的确定

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：由4S_n=（a_n+1）²可得4S_n+1=（a_n+1+1）²，从而得到（a_n+1-1）²=（a_n+1）²，则a_n+1=a_n+2，或a_n+1+a_n=2，又由a₁=1可得a_n+1=a_n+2，或a_n=1从而得到．

解答： 解：∵4S_n=（a_n+1）²，
∴4S_n+1=（a_n+1+1）²，
作差得，4a_n+1=（a_n+1+1）²-（a_n+1）²，
即（a_n+1-1）²=（a_n+1）²，
则a_n+1=a_n+2，或a_n+1+a_n=2，
又∵4a₁=（a₁+1）²，
∴a₁=1，
∴a_n+1=a_n+2，或a_n=1，
故选A．

点评：本题考查了公式a_n=

s1，n=1 sn-sn-1，n≥2

的应用及等差数列与等比数列的判断，属于基础题．