Question

3．将函数y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位长度后得到函数f（x）的图象
（1）写出函数f（x）的解析式；
（2）若对任意的x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{12}$]，f²（x）-mf（x）-1≤0恒成立，求实数m的取值范围；
（3）求实数a和正整数n，使得F（x）=f（x）-a在[0，nπ]上恰有2017个零点．

Answer 1

分析 （1）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得f（x）的解析式．
（2）令t=f（x）∈[0，1]，则g（t）=t²-mt-1≤0恒成立，再根据二次函数的性质可得g（0）=-1≤0，且 g（1）=-m≤0，由此解得m的范围．
（3）由题意可得f（x）的图象和直线y=a在[0，nπ]上恰有2017个交点，分类讨论，求得a、n的值．

解答 解：（1）把函数y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$倍（纵坐标不变），可得y=sin2x的图象；
再将所得的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位长度后得到函数f（x）=sin2（x+$\frac{π}{6}$）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）的图象，
故函数f（x）的解析式为 f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（2）若对任意的x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{12}$]，2x+$\frac{π}{3}$∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[0，1]，f²（x）-mf（x）-1≤0恒成立，
令t=f（x）∈[0，1]，则g（t）=t²-mt-1≤0恒成立，故有g（0）=-1≤0，且 g（1）=-m≤0，解得m≥0．
（3）∵F（x）=f（x）-a在[0，nπ]上恰有2017个零点，故f（x）的图象和直线y=a在[0，nπ]上恰有2017个交点．
在[0，π]上，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{3}$]．
①当a＞1，或a＜-1时，f（x）的图象和直线y=a在[0，nπ]上无交点．
②当a=1，或a=-1时，f（x）的图象和直线y=a在[0，π]仅有一个交点，
此时，f（x）的图象和直线y=a在[0，nπ]上恰有2017个交点，则n=2017．
③当-1＜a＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，或$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜a＜1时，f（x）的图象和直线y=a在[0，π]上恰有2个交点，
f（x）的图象和直线y=a在[0，nπ]上有偶数个交点，不会有2017个交点．
④当a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，f（x）的图象和直线y=a在[0，π]上恰有3个交点，
此时，n=1008，才能使f（x）的图象和直线y=a在[0，nπ]上有2017个交点．
综上可得，当a=1，或a=-1时，n=2017；当a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，此时，n=1008．

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，函数的恒成立问题，二次函数的性质，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的图象特征，属于中档题．