题目内容
11．已知直线l1：x=2，l2：3x+4y-12=0，l3：x-2y-6=0．（1）设l1与l2的交点为A，l1与l3的交点为B，l2与l3的交点为C．求A，B，C的坐标；
（2）设$\left\{\begin{array}{l}x≥2\\ 3x+4y-12≤0\\ x-2y-6≤0\end{array}\right.$表示的平面区域为D，点M（x，y）∈D，N（3，1）．
①求|MN|的最小值；
②求$\frac{y}{x}$的取值范围．
分析 （1）联立方程组求解交点坐标即可．
（2）画出约束条件的可行域，利用距离公式判断最优解，求解①；利用直线的斜率求解②即可．
解答 解：（1）直线l1：x=2，l2：3x+4y-12=0，l3：x-2y-6=0．l1与l2的交点为A，
即$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{3x+4y-12=0}\end{array}\right.$；解得A（2，$\frac{3}{2}$）
l1与l3的交点为B，即：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{x-2y-6=0}\end{array}\right.$解得B（2，-2）；
l2与l3的交点为C．即$\left\{\begin{array}{l}{3x+4y-12=0}\\{x-2y-6=0}\end{array}\right.$，解得C（$\frac{24}{5}，-\frac{3}{5}$）
$A（2，\frac{3}{2}），B（2，-2），C（\frac{24}{5}，-\frac{3}{5}）$； （3分）
（2）作出可行域如下图：
…（5分）
①|MN|的最小值为N到直线l2的距离，
所以$|MN{|}_{min}=\frac{\left|9+4-12\right|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}=\frac{1}{5}$；…（8分）
②$\frac{y}{x}$表示可行域内的点与原点连线的斜率，由图知最大值为${k}_{OA}=\frac{3}{4}$，最小值为kOB=-1，
所以$\frac{y}{x}$的范围为$[-1，\frac{3}{4}]$…（12分）
点评 本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．
练习册系列答案
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